ضرب وقسمة أعداد عشرية

ضرب وقسمة أعداد عشرية المحتويات مدخل إلى فصل "ضرب وقسمة أعداد عشرية"........ 40 أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي. 1,000... 41 جداول مالءمة في األعداد الصحيحة الضرب في 10 الضرب في 100 الضرب في 1,000 ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى. 100........... 51 القسمة على 10 القسمة على 100 ج. ضرب األعداد العشرية............................ 59 ضرب عدد عشري في عدد صحيح ضرب عدد عشري في عدد عشري ضرب األعداد العشرية عمودي ا د. قسمة األعداد العشرية............................. 71 احلسابات غيب ا قسمة عدد عشري على عدد صحيح القسمة على عدد عشري كتابة كسر بسيط بالطريقة العشرية ه. العدد العشري الدو ري............................. 84 اختبار إجمالي.................................... 120 39

مدخل إلى فصل "ضرب وقسمة أعداد عشرية" يتضم ن فصل "ضرب وقسمة أعداد عشرية" خمس وحدات: أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 ج. ضرب األعداد العشرية د. قسمة األعداد العشرية ه. العدد العشري الدوري بحسب منهج التعليم يجب تخصيص 15 حص ة لهذه املوضوعات. هذا الفصل هو آخر فصل يتناول تعليم العمليات احلسابية في األعداد العشرية. 40

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 )الصفحات 89-76 في كتاب التعليم( مقدمة أو ل وحدتني في هذا الفصل تتناوالن ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 وقسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100. التطبيق الذي اخترناه من أجل التعليم هو تبديل وحدات قياس. ملعرفة تبديل وحدات القياس يجب أن نكون متمك نني من مجال ني: فهم العالقة الضربية بني وحدت ي القياس والقدرة على تنفيذ عمليت ي الضرب والقسمة في املجاالت العددية املالئمة. األهداف التي جتد متثيال لها في هاتني الوحدتني هي: - أن يعرف التالميذ ضرب أعداد عشرية في 10 وفي 100. - أن يتوس ع التالميذ ويتعم قوا في فهم املبنى العشري. - أن يطب ق التالميذ معرفتهم هذه في التنق الت بني وحدات القياس املختلفة. - أن يقو ي التالميذ قدرتهم على حل متارين غيب ا بواسطة قانون التوزيع وقانون التجميع. جدوال مالءمة في األعداد الصحيحة ت سته ل الوحدة بالعالقات الضربية بني األعداد الصحيحة من خالل التعر ف على ق ي م الع مالت املستخد مة في الواليات املت حدة األمريكية. اخترنا هذا النموذج بالذات ألنه غير معروف للتالميذ. على التالميذ أن يستنتجوا العالقات بني الع مالت املختلفة بواسطة فحص العالقات احلسابية التي بينها وليس بشكل تلقائي كما هو احلال في الوحدات املعروفة. هناك ميزة أخرى الستخدام الع مالت األمريكية هي أن العالقات العددية بني ق ي م الع مالت متنو عة وليست فقط من قوى 10. مثال : 1 دوالر = 4 كوارت رات 1 نيك ل = 5 س نتات. نقوم بتبديل وحدات القياس بني الع مالت بواسطة جدوال مالءمة. جدول املالءمة هو جدول مكو ن من عمود ين بينهما عالقة ضربية )أي وجود نسبة ثابتة بني كل عددين في كل سطر(. يستعني التالميذ بجداول املالءمة لكي يكتشفوا قواعد املالءمة ولكي يجدوا مالءمات أخرى. الضرب في 10 نعل م الضرب في 10 على مراحل. املرحلة األولى: نعل م الضرب في أعداد عشرية أحد أرقامها فقط ال يساوي 0. مثال : 0.2, 0.05. نعتمد على معرفة التالميذ السابقة في كتابة األعداد العشرية والكسور البسيطة وفي ضرب الكسور البسيطة:. 0.08 10 = 100 8 10 = 80 100 = 0.8 املرحلة الثانية: نضرب بواسطة قانون التوزيع - في البداية نوز ع العدد بحسب مبناه العشري وبعد ذلك نضرب كل مضاف في 10. مثال حلل مترين ضرب: = 10 1.25 نوز ع العدد 1.25 بحسب املبنى العشري: + 0.05 0.2 + 1 = 1.25 1 0.2 0.05 نضرب كل مضاف في 10: 1.25 10 = )1 + 0.2 + 0.05( 10 = 1 10 + 0.2 10 + 0.05 10 = 10 + 2 + 0.5 = 12.5 41

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 التعميم: نحن معنيون بأن يستخدم التالميذ قاعدة الضرب في 10 التي بحسبها "يحر كون" النقطة العشرية منزلة واحدة إلى اليمني. للتوص ل إلى هذا التعميم وفهم التغييرات التي تطرأ على ق ي م األرقام في العدد عند ضربه في 10 يستخدم التالميذ جدوال عشري ا من سطرين لعددين: السطر األول هو للعدد الذي ي ضر ب في 10 والسطر الثاني للعدد الناجت عن الضرب في 10. في البداية ينف ذ التالميذ الضرب بالطريقة التي ع ل مت ويسج لون العددين في اجلدول. بعد بضعة متارين كهذه سيكون باستطاعة التالميذ أن يتوص لوا إلى التعميم: عند ضرب عدد في 10 فإن قيمة كل رقم فيه تكبر 10 مر ات ولذلك يبدو العدد كأنه حتر ك في اجلدول منزلة واحدة إلى اليسار ومعه "حتر كت" النقطة العشرية. مثال: = 3,065 10 306.5 مهم فحص كل رقم على حدة وفهم ملاذا "حتر ك" منزلة واحدة إلى اليسار. مثال للشرح: قيمة الرقم 3 هي 300. عندما نضرب 300 في 10 فإن قيمة 3 في النتيجة تكون 3,000. لذلك نسج ل الرقم 3 في منزلة اآلالف. قيمة الرقم 5 هي 0.5 أو نستمر بنفس الطريقة. أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف 306.5 306.5 10 = 3 0 6 5 3 0 6 5. 5 نتيجة ضربه في 10 هي 5. لذلك نسج ل 5 في منزلة اآلحاد. 10 الضرب في 100 الضرب في 100 ي عل م على أنه ضرب متكر ر في 10 ولذلك إذا "حتر كت" النقطة العشرية مر ة إلى اليمني عند ضرب العدد في 10 فإن الضرب في 100 "سي حر ك" النقطة منزلتني إلى اليمني. عندما نضرب العدد في 10 ومر ة أخرى في 10 بدال من ضربه في 100 فإننا عملي ا نستخدم قانون التجميع. يجب تشجيع التالميذ على حل التمارين غيب ا ولهذا الغرض عليهم أن يكونوا متمك نني من قانون التجميع ومن قانون التوزيع أيض ا إال أنهم غير ملزمني بصياغتهما بشكل رسمي. قانون التجميع في الضرب:.a (b c) = (a b) c ي ستخد م هذا القانون في الضرب في 100 هكذا: 10 10) (a.a 100 = a (10 10) = اجلميل في استخدام القانون في هذه احلالة أننا لسنا مضطرين لتعل م موضوعة جديدة في كل مرة نحتاج فيها إلى الضرب بعدد آخر وإمنا يكفي أن نعتمد على معلومات سابقة وهي في هذه احلالة كيفية الضرب في 10. مثال: = 234 10 23.4 = 10 10( )2.34 = 10( )10 2.34 = 100 2.34 الضرب في 10 ع ل م من قبل هذه مناسبة للتذكير بكيفية الضرب غيب ا في أعداد أخرى يسهل معها استخدام قانون التجميع مثال : الضرب في = 600 :4 2 300 = 2 2( )150 = 2( )2 150 = 4 150 وعلى هذا النحو الضرب في = 900 :6 3 300 = 3 2( )150 = 3( )2 150 = 6 150 42

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 مالحظات عن فعاليات في كتاب التعليم - الوحدة أ الصفحة 76: جداول مالءمة في األعداد العشرية جدول املالءمة هو جدول مكو ن من عمودين بينهما عالقة ضربية )أي وجود نسبة ثابتة بني كل عددين في كل سطر(. يستعني التالميذ بجداول املالءمة لكي يكتشفوا قاعدة املالءمة ويجدوا مالءمات أخرى. الفعالية 1 يوصى بإعطاء الفعالية 1 كفعالية بحث في مجموعات وذلك بعد شرح قصير عن أنواع الع مالت املستخد مة في الواليات املت حدة األمريكية. بعد العمل في مجموعات يجب إجراء نقاش تعرض فيه كل مجموعة املعطيات التي وجدتها وتشرح بأي الطرق وجدتها. نقاش - بأي جدول )في الفعالية 1( اخترمت أن تبدأوا ملاذا - كيف وجدمت املعطيات الناقصة - هل اكتشفتم عالقات أي ا كانت في كل جدول ما هي - كم عملة من النيكل هي دوالر واحد كيف حسبتم ذلك هل ميكن االستعانة بجدول لهذا الغرض - كم عملة من الكوارتر هي دوالر واحد كيف حسبتم ذلك هل ميكن االستعانة بجدول لهذا الغرض - ألي عملة قيمة أكبر للدامي أم للنيكل اشرحوا. 20 أضفنا هنا العالقات الضربية القائمة في اجلداول املعطاة في الفعالية: 4 10 دامي دوالر كوارتر دوالر نيكل دوالر 14 280 200 200 24 96 88 8 230 2,300 6 100 200 1 ميكن بسهولة تشخيص العالقة الضربية بني العمودين في كل جدول من هذه اجلداول وبعد أن يشخ ص التالميذ هذه العالقة يصبح بإمكانهم إكمال املعطيات الناقصة في كل جدول. : 10 : 10 مقابل ذلك األسئلة املطروحة في تتمة البند أكثر تركيب ا وميكن اإلجابة عنها بإضافة سطر إلى كل واحد من اجلداول واالستعانة بالعالقة الضربية بني األسطر إليجاد قيمة الدوالر الواحد. 20 مثال : بعد أن يجد التالميذ أن 200 نيكل هي 10 دوالرات ميكنهم إيجاد كم عملة من النيكل هي دوالر واحد دوالر نيكل وذلك بأن يقسموا هذا السطر من اجلدول على 10. 14 280 من هنا: الدوالر الواحد هو 20 نيكال. 10 200 43

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 بعد أن يجد التالميذ كيف ميكنهم التوص ل من 100 دوالر إلى دوالر واحد بواسطة اجلدول ميكنهم االستعانة بالعالقة الضربية التي بني العمودين لكي يجدوا كم عملة من الدامي يساوي دوالر ا واحد ا: = 10 10 1 أي دوالر واحد يساوي 10 دامي. طريقة أخرى: إذا وجد التالميذ أن 100 دوالر هي 1,000 دامي ميكن أن يقسموا على = 10 100: 100 1,000 : ومن هنا: دوالر واحد يساوي 10 دامي. :100 : 2 10 دامي دوالر 230 2,300 6 100 1 4 كوارتر دوالر 24 96 2 8 88 1 بنفس الطريقة ميكن إيجاد كم عملة من الكوارتر هي دوالر واحد: أصبح معلوم ا أن 2 دوالر هي 8 كوارتر لذلك نقسم على 2:. 8 : 2 = 4 من هنا: دوالر واحد يساوي 4 كوارتر. الفعالية 3 )الصفحة 76( في هذه الفعالية جند النسبة بني الع مالت بواسطة الفعالية السابقة. هذه الفعالية مرك بة ولذلك ال يوصى بها للتالميذ املستصعبني. نيكل سنت 25 5 5 50 50 في الفعالية 1 وجد التالميذ أن دوالر ا واحد ا يساوي 20 نيكل. من هنا بإمكانهم أن يستنتجوا أن ر بع الدوالر الواحد يساوي 5 نيكل. معلوم أن الدوالر الواحد يساوي 100 سنت ولذلك ر بع دوالر يساوي 25 سنت. من هنا: 5 نيكل = 25 سنت. نيكل كوارتر 1 5 4 في اجلدول أعاله وجد التالميذ أن 5 نيكل تساوي 25 سنت ومن الفعالية 1 وجد التالميذ أن كوارتر واحد يساوي 25 سنت. من هنا: 5 نيكل = 1 كوارتر. 10 20 44

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 نيكل دامي 1 2 9 100 250 في الفعالية 1 وجد التالميذ أن 10 دامي تساوي الدوالر الواحد أي أن الدامي الواحد هو ع شر دوالر ولذلك فهو يساوي 10 سنت. 1 بينما 20 نيكل تساوي دوالر ا واحد ا أي أن النيكل الواحد هو 20 من الدوالر ولذلك فهو يساوي 5 سنت. من هنا: ع ملتان من النيكل قيمتهما تساوي قيمة دامي واحد. الصفحتان 78-77: قياسات طولية في هاتني الصفحتني توجد مراجعة لوحدات القياس الطولية. كتحضير لهذه املوضوعة يوصى بالطلب من التالميذ أن يعرضوا في الصف قطع ا بهذه األطوال: قطعة طولها سنتيمتر واحد قطعة طولها ديسيمتر واحد وقطعة طولها متر واحد. الصفحة 77 في فعاليات هذه الصفحة ال يكفي تبديل وحدات القياس وإمنا يجب أن نحس مقدار األعداد. مهم إجراء نقاشات في الصف في هذه املوضوعة. يوصى بالتزو د بشريط قياس لتجسيد طول املتر الديسيمتر وغيرهما وأن نقيس في الصف أطواال مختلفة ونسج لها. صحيح أنه سبق للتالميذ أن تعل موا هذه املوضوعة لكن من املهم مراجعتها خاصة ألنهم سيتناولون في تتمة الفصل وحدات مختلفة باألعداد العشرية. لتبديل وحدة قياس معي نة بوحدة أخرى من األسهل تسجيل األعداد في جدول مالءمة. الصفحة 78 كل الفعاليات في هذه الصفحة تستدعي إجراء تبديالت لوحدات طولية مختلفة. ميكن إجراء نقاش إلى أي وحدة يفض ل إجراء التبديل في كل حالة وملاذا. الفعالية 8 لكي نعرف إذا كان من املمكن أن يكون س مك الكتاب 50 ملم يفض ل تبديل امليليمترات بالسنتيمترات. لكي نعرف إذا كان من املمكن أن يكون طول شخص هو 1,750 ملم يفض ل تبديل امليليمترات بالسنتيمترات - هكذا يحصل التالميذ على عدد صحيح. إذا بد لوا 1,750 ملم بالديسيمترات أو باألمتار ال يحصلون على قياس بعدد صحيح. في هذه املرحلة من التعليم قد ال يستطيع كل التالميذ تنفيذ هذا التبديل. في تتمة الفصل سيتعل مون كيف يفعلون ذلك. في املقابل إذا أردنا أن نعرف إذا كان من املمكن أن نسير مسافة 2,000,000 ملم خالل ساعة يفض ل تبديل امليليمترات بالكيلومترات. باستطاعة التالميذ االستعانة بتبديالت الوحدات الطولية املختلفة في الفعالية 6 في الصفحة 77. الفعاليتان 10-9 في هاتني الفعاليتني باإلضافة إلى تناول وحدات القياس الطولية والقيام بتبديل وحدات القياس املختلفة توجد مراجعة حلساب محيطات ومساحات املضل عات. 45

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 الصفحة 79: متهيد ا للجداول العشرية في هذه الصفحة يوجد تذكير ميه د لضرب األعداد العشرية. املوضوعات التي نقوم مبراجعتها هنا: - املبنى العشري للعدد - كتابة أعداد عشرية في جدول عشري - قيمة الرقم في العدد - تفكيك العدد بحسب مبناه العشري - كثافة األعداد العشرية. فعالية متهيدية للصفحة 79: بناء أعداد عشرية يحصل التالميذ على جدول عشري مثل املعروض في الصفحة 79 ويبنون بواسطة أعداد ا بحسب توجيهات املعلم. بالتناوب ميكن رسم مثل هذا اجلدول على اللوح واستدعاء تالميذ ليكتبوا فيه أعداد ا بحسب توجيهات املعلم. مثال : ابنوا عدد ا عشري ا أصغر من / 1 أكبر من 1. ابنوا عدد ا عشري ا أكبر من 10 وأصغر من 100. كم عشرة يوجد في العدد كم من اآلحاد يوجد في العدد باإلضافة إلى العشرات كم ع شر ا يوجد في العدد باإلضافة إلى العشرات واآلحاد ما هو العدد املخلوط املالئم للعدد الذي بنيتموه اكتبوا العدد بالكلمات. ابنوا عدد ا عشري ا أكبر من... وأصغر من... بحيث يكون رقم أعشاره 9. ما هو العدد ما هو التفكيك العشري للعدد ابنوا عدد ا عشري ا أكبر من... وأصغر من... بحيث يكون فيه رقم األجزاء من مئة هو 9. ما هو العدد ما هو التفكيك العشري للعدد ابنوا عدد ا عشري ا أكبر من 70.5 وأصغر من 70.6. هل وجدمت إمكانيات مختلفة ما هي ما هو العدد الذي اخترمتوه ما هو تفكيكه العشري ابنوا عدد ا عشري ا أكبر من 25 1 2 وأصغر من 25. 3 4 ما هو العدد ما هو تفكيكه العشري اكتبوا ما هو العدد املالئم للتفكيك العشري اآلتي: + 0.005 0.02 + 0.4 + 90 أ + 0.03 1 + 40 + 2,000 ب الصفحتان 81-80: الضرب في 10 قبل أن نعل م التالميذ كيف يضربون أعداد ا عشرية في 10 يوصى بتمكينهم من البداية أن يبحثوا بأنفسهم عن طرق للضرب. قد يجد التالميذ طرق ا أخرى غير تلك التي نعرضها هنا. ي ستحسن أن نطلب منهم شرح طرقهم لباقي التالميذ ومناقشتها. فعالية متهيدية للصفحتني 81-80 نعرض على التالميذ متارين ضرب أحد العامل ني فيها هو 10 وفي العامل اآلخر أحد األرقام فقط ال يساوي 0. مثال : 0.2 10 = 10 0.007 = 40 10 = 0.06 10 = 10 600 = 46

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 نطلب من التالميذ أن يحل وا هذه التمارين دون أي شرح منا. بعد أن يحل وا جنري نقاش ا يعرض فيه التالميذ حلولهم ويشرحون كيف توص لوا إلى كل حل. هناك مجال إلجراء نقاش خاصة إذا استخدم التالميذ في الشرح التعبير "إضافة صفر" كطريقة حلل مترين ضرب في 10. إذا أشار التالميذ إلى هذه الطريقة يجب أن نعرض عليهم متارين كتلك املعروضة أعاله التي ال يوجد في حل ها "إضافة صفر" مثل = 10 0.2. في مرحلة متقد مة عندما يتوص لون إلى التعميم اخلاص بضرب األعداد العشرية في 10 يصبح باإلمكان من جديد مواجهتهم بخطأ هذه الطريقة. كما أشرنا في مدخل الوحدة أ في هذا املرشد ي عرض ضرب األعداد العشرية على التالميذ على مراحل. في هاتني الصفحتني يحل التالميذ متارين ضرب أعداد عشرية في 10 بتبديل العدد العشري بكسر بسيط. مثال: 0.2 10 = 10 2 10 = 20 10 = 2 بعد ذلك يكتبون العدد العشري الذي ضربوه في 10 والنتيجة في اجلدول العشري: أجزاء أجزاء مثال: أعشار آحاد عشرات 0.2 من ألف من مئة 0 2 0.2 10 = 2 الصفحات 84-82: الضرب في 10 بواسطة قانون التوزيع يتعل م التالميذ هنا ضرب عدد عشري في 10 بواسطة قانون التوزيع: في البداية يوز عون العدد العشري بحسب املبنى العشري وبعد ذلك يضربون كل مضاف في 10. فعالية متهيدية للصفحة 82 نعرض على التالميذ مسائل مختلفة كهذه: - حتتوي قنينة عصير على 1.5 لتر. كم لتر ا من العصير يوجد في 10 قنان - ما هو وزن 10 ر ز م من التوت إذا ع لم أن وزن كل رزمة هو 1.25 كغم - كم ميليمتر ا هي 4.3 سم نطلب من التالميذ أن يشرحوا كيف حل وا املسائل. نعرض على التالميذ الطريقة التي نضرب بها عدد ا عشري ا في 10 بواسطة قانون التوزيع كما هي معروضة في الصفحة 82: ميكن االستعانة بالتوزيع لضرب عدد عشري في 10. مثال: 8 100 10 6 + 0.08 )بحسب التفكيك العشري( 6.08 10 = 6 10 + 0.08 10 = 60 + 0.8 = 60.8 47

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 التالميذ املستصعبون يوصى بأن يعملوا على مراحل. في البداية يفك كون العدد بحسب تفكيكه العشري وبعد ذلك يضربون بواسطة قانون التوزيع. مثال : التمرين: = 10 2.41 أ. + 2 = 2.41 وز عوا العدد 2.41 بحسب املبنى العشري: + 0.01 أكملوا مترين الضرب وحل وا. 2.41 10 = )2 + + 0.01( 10 = 2 10 + 10 + 0.01 10 = ب. التمرين: = 10 73.9 = 73.9 + وز عوا العدد 73.9 بحسب املبنى العشري: + 0.9 أكملوا مترين الضرب وحل وا. 73.9 10 = ) + + 0.9( 10 = 10 + 10 + 0.9 10 = الصفحة 83 في كل بند في الفعالية 5 يضرب التالميذ عدد ا عشري ا في 10 بواسطة قانون التوزيع. ثم يسج لون العدد العشري الذي ضربوه والنتيجة في جدول عشري. في نهاية الفعالية يوصى بإجراء نقاش بحسب ما هو مقتر ح في أسفل الصفحة 83. يترك ز النقاش في مترين البند ج في الفعالية 5. = 10 23.71 ج 23.71 أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف 23.71 10 = - قيمة الرقم 2 في العدد 23.71 هي 20. ما هي قيمة الرقم 2 في نتيجة التمرين 10 23.71? - ما هي قيمة الرقم 7 في العدد 23.71? ما هي قيمة الرقم 7 في نتيجة التمرين 10 23.71? - كيف تغي رت قيمة الرقم 7 في النتيجة - كيف تغي رت قيمة الرقم 1 في نتيجة التمرين 10 23.71 قياس ا بقيمة الرقم 1 في العدد 23.71? - ما هي العالقة بني عدد نضربه في 10 والنتيجة مثل هذا النقاش يؤد ي إلى التعميم )في بداية الصفحة 84(: عندما نضرب عدد ا في 10 تكب ر قيمة كل رقم فيه 10 مر ات وهذا يبدو كأننا أزحنا النقطة العشري ة منزلة واحدة إلى اليمين. مثاالن: 48.53 10 = 485.3 )48.53 485.3( 103.6 10 = 1,036 )103.6 1,036. 1,036( من اآلن فصاعد ا باستطاعة التالميذ أن يحل وا متارين الضرب في 10 بحسب التعميم الذي توص لوا إليه أو بواسطة طرق سابقة تعل موها بحسب ما يرونه سهال. 48

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 اقتراح لفعالية إضافية جدوا لكل عدد موجود في الصندوق األمين العدد الذي يكبره 10 مر ات في الصندوق األيسر. 5.27 520.7 52.7 527 570 52.7 5.27 57 0.527 52.07 باستطاعة التالميذ في هذه الفعالية أن يستخدموا أيض ا تقدير النتيجة وليس فقط القيام بحساب نتيجة التمرين. الصفحة 84 الفعاليتان 8-7 في هاتني الفعاليتني يبحث التالميذ صفات الضرب واجلمع في األعداد العشرية. ميكن التمهيد لذلك بفعالية باألعداد الطبيعية: أكملوا في كل مترين إشارة العملية )+ أو ( بحيث حتصلون على أكبر نتيجة ممكنة: 12.. 10 = 1.. 10 = 420.. 10 = باستثناء احلالة التي فيها أحد العددين هو 1 نحصل دائم ا بواسطة إكمال عملية الضرب على أكبر نتيجة ممكنة. الفعالية 9 تبديل وحدات القياس الطولية - أمتار بديسيمترات وسنتيمترات مبيليمترات - يتطلب من التالميذ تنفيذ متارين في ضرب أعداد عشرية في 10. يسهل العمل باستخدام اجلدول ألنه يعرض العالقة الضربية الثابتة بني وحدت ي القياس املعروضتني هنا. الصفحات 88-85: الضرب في 100 فعالية متهيدية للصفحتني 86-85 نعرض على التالميذ متارين ضرب في 100 ونطلب منهم أن يقترحوا طرق ا حلل ها. أمثلة لتمارين: = 100 0.1 100 0.07 = 2.3 100 = بعد أن ينتهي التالميذ من حل هذه التمارين نطلب منهم أن يشرحوا بأي طرق حل وا. بعد أن تعل م التالميذ كيف يضربون أعداد ا عشرية في 10 باستطاعتهم استخدام معرفتهم هذه لكي يضربوا في 100. نعرض عليهم العالقة بني الضرب في 100 والضرب في 10. الضرب في 100 بالنسبة لي ليس جديد ا: يمكن أن نضرب في 10 ثم نضرب مر ة أخرى في 10 أي نضرب في 10 مر تين. مثال: التمرين = 100 57.8 يمكن حل ه بواسطة تمرينين: التمرين األو ل: = 578 10 57.8 التمرين الثاني: = 5,780 10 578 وهذا هو الحل! يمكن أيض ا أن نحل بحسب تمرين سلسلة واحد: 578 57.8 100 = 57.8 )10 10( = )57.8 10( 10 = 5,780 49

أ. ضرب األعداد العشرية في 10 في 100 وفي 1,000 في مترين السلسلة املعروض في احلل نعتمد على قانون التجميع بحسب ما أشرنا إليه أيض ا في املقدمة لهذه الوحدة في هذا املرشد. الصفحة 86 في كل بند في الفعالية - 6 يسج ل التالميذ العدد العشري الذي ضربوه في 100 والنتيجة في اجلدول العشري. في نهاية الفعالية 6 يوصى بإجراء نقاش. في اجلدول العشري ي عرض العدد ونتيجة الضرب في 100: 403.98 أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف عشرات آالف نقاش: قيمة الرقم 4 في العدد 403.98 هي 400. ما هي قيمة الرقم 4 في نتيجة التمرين? 403.98 100 = 40,398 ما هي قيمة الرقم 9 في العدد 403.98? ما هي قيمة الرقم 9 في نتيجة التمرين? ما هي قيمة الرقم 8 في العدد 403.98? ما هي قيمة الرقم 8 في نتيجة التمرين? كيف تغي رت قيمة كل رقم في نتيجة التمرين 100 403.98 مقارنة بقيمته في العدد 403.98? هذا النقاش يؤد ي إلى التعميم: عندما نضرب عدد ا في 100 تكب ر قيمة كل رقم 100 مر ة وهذا يبدو كأننا أزحنا النقطة العشري ة منزلتين إلى اليمين. 403.98 100 = الصفحة 89: الضرب في 1,000 ضرب عدد عشري في 1,000 ي عرض هنا على أنه ضرب 10 100. هذه املوضوعة تستدعي إجراء تبديالت في وحدات الوزن: أطنان بكيلوغرامات وكيلوغرامات بغرامات. على الرغم من عدم وجود جداول مالءمة في هذه الصفحة يوصى باستخدامها عند إجراء التبديالت ألنها تعرض العالقة الثابتة بني هذه الوحدات. 1,000 1,000 غرام كيلوغرام كيلوغرام طن الفعالية 4 هذه فعالية مهم ة ألنها ت عطي إحساس ا باألوزان املالئمة. مثال في البند ب - احلصان - إذا أكمل التالميذ الوزن هكذا: 0.63 كغم عليهم أن يفهموا أن ما سج لوه هنا هو وزن أصغر من كيلوغرام واحد وهذا ما ال ميكن أن يالئم وزن حصان. وإذا أكمل التالميذ وزن الشاحنة هكذا: 43.6 كغم بدال من 43.6 طن عليهم أن يحس وا أن ما سج لوه هو وزن أصغر بكثير من وزن الشاحنة. 50

مقدمة القسمة على 10 نعل م موضوعة القسمة على 10 على مرحلتني. املرحلة األولى: نعل م القسمة على أعداد عشرية واحد فقط من أرقامها ال يساوي 0. ثم نقسم بواسطة كتابة العدد ككسر بسيط )قسمة صحيح على صحيح( ونكتب النتيجة كعدد عشري. 3 : 10 = 3 10 مثال: = 0.3 ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 )الصفحات 100-90 في كتاب التعليم( املرحلة الثانية: نقسم بواسطة قانون التوزيع. في البداية نوز ع العدد بحسب املبنى العشري وبعد ذلك نقسم كل مضاف على 10. مثال : 31.2 : 10 = )30 + 1 + 0.2( : 10 = 30 : 10 + 1 : 10 + 0.2 : 10 = 3 + 0.1 + 0.02 = 3.12 يستخدم التالميذ هنا ما تعل موه في املرحلة السابقة مثال : حل التمرين = 0.02 10. 0.2 : القسمة على 100 تعليم هذه املوضوعة يوازي تعليم الضرب في 100. "نحل ل" عملية القسمة على 100 لتمرينني: قسمة على 10 ومر ة أخرى قسمة على 10. فإذا كانت نتيجة القسمة على 10 "حتر ك" النقطة العشرية منزلة واحدة إلى اليسار فإن القسمة على 100 "حتر ك" النقطة منزلتني إلى اليسار. مهم أن يتيق ن التالميذ من عدم وجود أي فرق بني تقسيم املئات الكاملة على 100 والقسمة على 100 ألي عدد رقم عشراته ورقم آحاده ال يساويان صفر ا. مثال في هذا التمرين: = 23 100 2,300 : ميكن أن نتخي ل وجود نقطة عشرية بعد رقم اآلحاد ).2300( وعندما "نحر ك" النقطة العشرية نحصل في الواقع على هذا العدد: 23.00 وهو العدد 23. تقدير النتائج تقدير النتائج هو موضوعة هامة. يزو د التقدير التالميذ مردودية ذاتية. بحسب قدرة التالميذ على تنفيذ التقدير ميكن أن نعرف إذا فهموا املبنى العشري. توصيات لفعالية صف ية )للوحدات أ - ب في الفصل(. 1 نسج ل على اللوح مترين ا ونسج ل أيض ا نتيجته ولكن بدون النقطة العشرية. على التالميذ أن يعي نوا مكان النقطة وإضافة أصفار إذا دعت احلاجة. بالتقدير يتوص ل التالميذ إلى النتيجة املالئمة. مثال : 145.7 10 = 1457 145.7 : 100 = 1457 145.7-100 = 457. 2 نسج ل على اللوح بضعة متارين ونسج ل أيض ا نتائجها ولكن ليس بحسب الترتيب. على التالميذ أن يالئموا لكل مترين نتيجته ويعل لوا. مهم أن نسج ل أيض ا متارين جمع وكذلك متارين طرح وليس فقط متارين كتلك التي ت عل م في الصف وذلك لكي ال تتحو ل الفعالية إلى فعالية منطية ميكن حل ها تلقائي ا. مثال : 21.1-10 = 21.1 10 = 21.1-0.1 = 211 : 10 = 145.7 100 = 1457 14.57 10 = 1457 14.57 : 10 = 1457 21.1 + 100 = 21.1 : 10 = 21.1 100 = النتائج )ليست بحسب الترتيب(: 21, 121.1, 2,110, 21.1, 211, 11.1, 2.11 51

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100. 3 نسج ل على اللوح مترين ا ينقصه أحد العددين وتنقصه العملية احلسابية ونسج ل أيض ا نتيجة هذا التمرين. على التالميذ أن يكملوا الناقص. 13.567... = 113.567 مثال : 13.567... = 135.67 13.567... = 3.567 13.567... = 1356.7 13.567... = 1.3567 تبديل وحدات قياس: تطبيقات في الضرب والقسمة في وعلى 10 وفي وعلى 100 لتبديل وحدة قياس بأخرى من السهل في البداية تسجيل العددين في جدول مالءمة. في األعداد الصغيرة والبسيطة االنتقال من وحدة قياس إلى أخرى ميكن أن يتم أحيان ا باحلدس دون االلتفات إلى العملية احلسابية التي نقوم بها. مثال عندما نبد ل مترين بالسنتيمترات ال ننتبه دائم ا إلى العالقة الضربية بني الوحدتني ولذلك عندما نحتاج إلى تبديل أعداد كبيرة أو أعداد فيها نقطة عشرية ال نتذك ر دائم ا أي عملية حسابية علينا أن نستخدم. عندما نسج ل أعداد ا في جدول طويل تصبح رؤية العالقة بينها أسهل وكذلك استخدام القاعدة املالئمة. ي ستحسن إجراء نقاش في الصف عن العالقة بني العمودين في اجلدول: نطلب من التالميذ أن ميألوا بضعة أسطر بأعداد يختارونها بأنفسهم. في كل مر ة يقترح فيها تلميذ ملء سطر يوصى بأن يقوم التالميذ بتعليل أسباب كون العددين مالئمني أو غير مالئمني. أمثلة لشروح: حاصل قسمة العددين هو 100 العددان غير مالئمني ألن العدد بالسنتيمترات دائم ا أكبر من العدد باألمتار. ميكن إضافة سهم فوق اجلدول نكتب فوقه 100. هذا السهم يبرز العالقة الضربية بني العمودين. في هذه املرحلة ي ستحسن كتابة عدد عشري في عمود األمتار ونسأل: ما هو العدد املالئم بالسنتيمترات ما هي العملية املالئمة وحدات قياس مالئمة للضرب والقسمة في وعلى 10 تبديل األمتار بالديسيمترات تبديل السنتيمترات بامليليمترات تبديل السنتيمترات بالديسيمترات وما شابه ذلك. وحدات قياس مالئمة للضرب والقسمة في وعلى 100 تبديل األمتار بالسنتيمترات تبديل الديسيمترات بامليليمترات وكذلك تبديل الشواقل باألغورات والدوالرات بالسنتات. مالحظات عن فعاليات في كتاب التعليم - الوحدة ب سنتينترات 100 أمتار 1 100 2 200 14 1400 12.03 الصفحة 90: متهيد ا لقسمة األعداد العشرية على 10 في هذه الصفحة نقوم مبراجعة متارين قسمة على 10 العدد املقسوم فيها هو عدد طبيعي بعشرات كاملة. نسج ل العدد املقسوم وحاصل القسمة )نتيجة مترين القسمة( في جدول عشري متهيد ا لقسمة األعداد العشرية على 10. األسئلة املطروحة في النقاش وفي الفعالية 2 هي أسئلة موج هة لتتمة املادة. 52

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 الصفحات 96-91: القسمة على 10 فعالية متهيدية للصفحتني 92-91 نعرض على التالميذ متارين قسمة على 10 في العدد املقسوم فيها رقم واحد فقط ال يساوي 0. 7 : 10 = مثال : 0.4 : 10 = 0.01 : 10 = 9 : 10 = نطلب من التالميذ أن يحل وا هذه التمارين دون أي شرح مسبق منا. بعد أن ينتهي التالميذ من احلل جنري نقاش ا يعرض فيه التالميذ حلولهم ويشرحون كيف توص لوا إليها. باستطاعة التالميذ أن يعتمدوا أيض ا على معرفتهم في قسمة الكسور البسيطة. نطلب منهم أن يعرضوا العدد املقسوم وحاصل القسمة في جدول عشري. مثال : أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف 6 : 10 = 6 10 = 0.6 6 6 : 10 = 6 0 6 0.6 : 10 = 6 10 : 10 = 6 10 1 10 = 6 100 = 0.06 وأيض ا: أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف 0 6 0 0 6 قد يكون هناك تالميذ اختاروا أن يحل وا مترين القسمة في الكسور ليس بالضرب في مقلوب العدد وإمنا بالطريقة التي ع ل مت في الفصول السابقة التي تناولت العمليات احلسابية في الكسور. مثال : 0.6 : 10 = 10 6 : 10 = 100 60 : 10 = 6 100 = 0.06 الصفحتان 93-92: االنتقال من السنتيمترات إلى الديسيمترات تبديل السنتيمترات بالديسيمترات يستدعي التدر ب على قسمة األعداد العشرية على 10. من السهل شرح تبديل أعداد صحيحة أكبر من 10 320 : 10 = وخاصة تبديل عشرات كاملة من السنتيمترات بالديسيمترات. أما تبديل 9 سنتيمترات بديسيمترات فليس أمر ا بديهي ا ألن النتيجة بالديسيمتر أصغر من 1. اجلدول في هذه احلالة يساعد جد ا ألن التالميذ يرون فيه أمثلة 9 : 10 = مختلفة من األعداد حتى في حاالت أبسط. 0.9 دسم = 9 سم 0.9( = 10.)9 : استخدام جدول مالءمة هو أمر هام ألنه ميك ن التالميذ من رؤية العالقة الثابتة بني وحدات القياس املختلفة في هذه احلالة بني وحدت ي السنتيمتر والديسيمتر. هكذا تتحو ل الفعالية املعد ة لهدف التبديل ليس إلى مجر د فعالية عفوية وإمنا نعتمد على العالقة الثابتة بني الوحدتني. : 10 دسيمترات سنتيمترات 320 100 1,000 9 5 1 53

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 ג. כפל וחילוק الصفحة 93 الفعالية 6 في هذه الفعالية نبد ل ميليمترات بستيمترات وديسيمترات بأمتار. في احلالتني العملية املالئمة هي القسمة على 10. هذه العالقة ليست واضحة للتالميذ من تلقاء نفسها ولذلك مهم تعويدهم على االستعانة بجدول مالءمة في كل حالة كهذه. هكذا يتعل مون إيجاد العالقة بني الوحدتني والعملية احلسابية املالئمة لتنفيذ التبديل خاصة في احلاالت التي فيها أعداد عشرية وال يتذك رون دائم ا ما هي العملية احلسابية التي يجب أن يستخدموها. الفعالية 7 يوصى هنا بتسجيل متوالية األعداد التي نحصل عليها من نتائج التمارين. هذه متوالية ذات حاصل قسمة ثابت هو 10. : 10 : 10 : 10 : 10 : 10 1,000, 100, 10, 1, 0.1, 0.01,... اعتاد التالميذ على حتليل متواليات حسابية )الفرق فيها بني كل حد ين متتاليني هو فرق ثابت( وليس كهذه املتوالية التي فيها النسبة بني كل حد ين متتاليني هي نسبة ثابتة )متوالية هندسية(. اقتراحات لفعاليات أخرى في أعقاب متوالية أعداد يوصى بطرح هذا السؤال على التالميذ: ما هو العدد التالي في املتوالية وميكن أن نطلب منهم أن يكملوا املتوالية في االجتاهني وفحص أي عملية استخدموها في كل اجت اه. ميكن أن نطلب من التالميذ أن يبنوا بأنفسهم متوالية كهذه النسبة فيها بني كل حد ين متتاليني هي نسبة ثابتة. ميكن أيض ا إضافة قيود على نحو: - أحد األعداد في املتوالية هو 0.6. - العدد الثالث في املتوالية هو 4,000. الصفحتان 95-94: القسمة على 10 بواسطة قانون التوزيع فعالية متهيدية للصفحتني 95-94 نعرض على التالميذ التمرين = 10 163 : ونطلب منهم أن يجدوا طرق ا حلل ه. ثم جنمع الطرق املختلفة التي اقترحها التالميذ وجنري نقاش ا فيها. أمثلة لطرق ممكنة قد يعرضها التالميذ: 163 : 10 = )160 + 3 ( : 10 = 160 : 10 + 3 : 10 = 16 + 0.3 = 16.3 163 : 10 = )100 + 60 + 3( : 10 = 100 : 10 + 60 : 10 + 3 : 10 = 10 + 6 + 0.3 = 16.3 163 : 10 = 163 10 = 16 3 10 = 16.3 أو ل طريقتني معروضتني هنا اعتمدتا على قانون التوزيع. هذه مناسبة لطرح مثل هذه األسئلة: - ما هو الفرق بني الطريقتني - أي طريقة تفضلونها ملاذا هذا مثال لقسمة عدد طبيعي على 10. يوصى بأن ي عرض على التالميذ أيض ا مترين قسمة لعدد عشري على 10 ثم نسألهم: كيف يحل ون هذا التمرين مثال : = 10 83.1 : هذا مثال ممكن للحل يعتمد على ما أصبح يعرفه التالميذ في مجال قسمة عدد على 10: 83.1 : 10 = )80 + 3 + 0.1( : 10 = 80 : 10 + 3 : 10 + 0.1 : 10 = 8 + 0.3 + 0.01 = 8.31 54

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 الصفحة 96 في الصفحتني 95-94 متر س التالميذ في القسمة على 10 بواسطة قانون التوزيع. ثم سج لوا العدد الذي قسموه والنتيجة في جدول عشري. بعد أن ينف ذ التالميذ الفعاليات في هاتني الصفحتني يوصى بإجراء نقاش يؤد ي إلى تعميم قسمة عدد عشري على 10. مثال : 2.07 = 10 + 0.7 : 10 = 20 : 10 : 0.7( + )20 = 10 20.7 : أجزاء من مئة 20.7 : 10 = نقاش قيمة الرقم 2 في العدد 20.7 هي 20. ما هي قيمة الرقم 2 في نتيجة التمرين = 10? 20.7 : ما هي قيمة الرقم 7 في العدد 20.7? ما هي قيمة الرقم 7 في نتيجة التمرين = 10? 20.7 : كيف تغي رت قيمة الرقم 7 في النتيجة كيف تغي رت قيمة الرقم 2 في نتيجة التمرين = 10 20.7 : باملقارنة مع قيمة الرقم 2 في العدد 20.7? ما هي العالقة بني العدد الذي نقسمه على 10 والنتيجة مثل هذا النقاش يؤد ي إلى التعميم: أعشار آحاد عشرات مئات آالف عندما نقسم عدد ا على 10 تصغ ر قيمة كل رقم 10 مر ات وهذا يبدو كأننا نزيح النقطة العشري ة منزلة واحدة إلى اليسار. 20.7 2 0 7 2 0 7 من اآلن فصاعد ا باستطاعة التالميذ أن يحل وا متارين القسمة على 10 بحسب التعميم الذي توص لوا إليه أو بالطرق التي تعل موها سابق ا وذلك بحسب اختيارهم. الفعاليتان 6-5 في هاتني الفعاليتني يبد ل التالميذ وحدات قياس طولية بالضرب في 10 أو بالقسمة على 10. اجلدول املعروض في الفعالية 5 هو جدول مالءمة بكل ما حتمله الكلمة من معنى إال أنه معروض بطريقة مختلفة عم ا عرفه التالميذ من قبل. مهم أن نشرح للتالميذ أن احلديث هنا هو في الواقع عن نفس اجلدول وأن طريقة إكمال القياسات الناقصة فيه هي بإيجاد العالقة بني السطرين في اجلدول. ميليمترات 40 205 545 1.2 سنتيمترات 12.6 يعرف التالميذ أنهم لكي يبد لوا السنتيمترات بامليليمترات عليهم أن يضربوا في 10. لذلك لكي يقوموا بالعملية العكسية أي تبديل امليليمترات بالسنتيمترات عليهم أن يقسموا على 10. يوصى بأن يكتب التالميذ التمرين املالئم بجانب كل تربيعة في اجلدول. القسم الثاني من هذه الفعالية يتناول اإلحساس مبقدار قياسات الطول. مهم أن يتمر س التالميذ في هذا النمط من الفعاليات وذلك لكي ال تتحو ل عمليات التبديل إلى مجر د مهارات تقنية. مثال القياس 545 ميليمتر ا "ال يقول" شيئ ا بحد ذاته لكننا عندما نبد له إلى سنتيمترات نحصل على 54.5 سم وهذا يعطينا إحساس ا مبقدار يسهل تصو ره وتقديره ولذلك هو أقرب إلى ارتفاع كلب من باقي القياسات املذكورة في الفعالية. 55

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 الصفحات 100-97: القسمة على 100 فعالية متهيدية للصفحتني 98-97 نعرض على التالميذ متارين قسمة على 100. 600 : 100 = مثال : 2,300 : 100 = 405 : 100 = 680 : 100 = 65 : 100 = 2.4 : 100 = بدون أن منه د لهم بأي شرح نطلب من التالميذ أن يحل وا هذه التمارين. باستطاعتهم في هذه الفعالية العمل في مجموعات ومناقشة طرق احلل فيما بينهم. في هذه املرحلة يعرف التالميذ كيف يضربون في 10 وفي 100 ويعرفون أيض ا حل متارين قسمة على 10. بناء على هذه املعلومات باستطاعتهم مواجهة هذه املهم ة. ميكن إجمال العمل في املجموعات في نقاش صف ي ت ناق ش فيه الطرق املختلفة التي عرضها التالميذ. أمثلة ممكنة لطرق حل للتالميذ: - القسمة على مراحل بدال من أن يقسموا على 100 يقسمون أو ال على 10 وبعد ذلك يقسمون النتيجة على 10. مثال: = 100 = 6.5 65 : 10 65 : 6.5 : 10 = 0.65 من هنا: = 0.65 100 65 : - القسمة بالتبديل إلى كسور بسيطة: = 0.65 65 = 100 100 65 : يوصى خالل النقاش الصف ي كتابة العدد املقسوم وحاصل قسمة التمرين )النتيجة( في جدول عشري. مثال : 4.05 = 100 405 : أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف املقسوم حاصل القسمة 4 0 5 4 0 5 بعد تعويض بضعة متارين في جداول عشرية ميكن توجيه النقاش بواسطة أسئلة تؤد ي إلى التعميم: قيمة الرقم 4 في العدد 405 هي 400. ما هي قيمة الرقم 4 في نتيجة التمرين = 4.05 100? 405 : كيف تغي رت قيمة الرقم 5 في نتيجة التمرين = 4.05 100 405 : قياس ا بقيمته في العدد 405 )املقسوم( ما هي العالقة بني عدد نقسمه على 100 والنتيجة ميكن إجمال الفعالية بهذا االستنتاج: عندما نقسم عدد ا على 100 تصغ ر قيمة كل رقم 100 مر ة وهذا يبدو كأننا أزحنا النقطة العشري ة منزلتين إلى اليسار. في مترين قسمة على " 100 نحل ل" عملية القسمة إلى مترينني: القسمة على 10 ثم القسمة على 10 مر ة أخرى. فإذا كانت القسمة على 10 "حتر ك" النقطة منزلة واحدة إلى اليسار فإن القسمة على 100 "حتر ك" النقطة منزلتني إلى اليسار. 56

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 مهم أن يتيق ن التالميذ أنه ال فرق بني أن يقسموا مئات كاملة على 100 وبني القسمة على 100 لعدد رقم عشراته ورقم آحاده ال يساويان صفر ا. مثال في هذا التمرين: = 23 100 2,300 : ميكن أن نتخي ل وجود نقطة عشرية بعد رقم اآلحاد ).2300( وعندما "نحر ك" هذه النقطة نحصل في الواقع على هذا العدد 23.00 وهو العدد 23. الصفحتان 100-99 في هاتني الصفحتني توجد فعاليات مختلفة تستدعي من التالميذ تنفيذ متارين ضرب أعداد عشرية في 10 وفي 100 ومتارين قسمة أعداد عشرية على 10 وعلى 100: مسائل كالمية إكمال معادالت وتبديل وحدات قياس. الفعالية 6 )الصفحة 99( في هذه الفعالية ت عرض معادالت ضرب وقسمة أحد العاملني فيها هو 10 أو 100. من عن النظر مثال في املعادلة أ: = 0.12 : 12 في هذه املعادلة معطى العدد املقسوم وأحد العامل ني. سبق للتالميذ أن متر سوا في حل معادالت من هذا النوع بأعداد طبيعية وهم يعلمون أن التمرين املباشر حلل املعادلة هو: = 0.12. 12 : لكنهم لم يتعل موا بعد حل مترين قسمة املقسوم عليه فيه هو عدد عشري )هذه املوضوعة ت عل م في هذا الفصل في الوحدة د(. ولذلك نتساءل: كيف باستطاعة التالميذ إكمال املعادلة املعطاة يوصى بعرض هذه املعادالت على التالميذ أو معادالت شبيهة بها ونطلب منهم أن يقترحوا طرق ا إلكمال كل معادلة )مع عدم جتاهل القيد الذي ذكرناه هنا(. طرق ممكنة للحل : أ. العدد املقسوم في املعادلة املعطاة = 0.12 : 12 هو حاصل ضرب التمرين = 12 0.12. إذا أمعنا النظر في معادلة الضرب = 12 0.12 نالحظ أن الرقمني في العامل )غير الصفرين( هما نفس الرقمني املكو ن منهما حاصل الضرب في التمرين وهذا يعني أن التمرين هو مترين ضرب في 10 أو في 100. لذلك ميكن بالتقدير أو بالفحص أو ب"إزاحة" النقطة العشرية إيجاد أن العامل الناقص في املعادلة هو = 0.12 100: 100. 12 : ب. نكتب العدد املقسوم في املعادلة األصلية وحاصل قسمة التمرين في اجلدول العشري: أجزاء من مئة أعشار آحاد عشرات مئات آالف املقسوم حاصل القسمة 1 2 4 0 5 4 0 5 نرى بوضوح أن قيمة كل رقم ص غ رت 100 مر ة أي أن العدد كل ه ص غ ر 100 مر ة. لذلك إذا كان = 12 100 0.12 فإن = 0.12 100. 12 : باقي املعادالت في هذه الفعالية لها نفس امليزة: معادالت ضرب أو قسمة العامل املعطى فيها هو عدد عشري والعامل الناقص هو 10 أو 100. 57

ب. قسمة األعداد العشرية على 10 وعلى 100 الصفحة 100 في هذه الصفحة نتناول تبديل وحدات قياس إلجمال املوضوعة. اقتراح لفعالية متهيدية أكملوا أعداد ا مالئمة من القائمة أدناه. سم. طول منلة هو أ. م. ب. طول املعلم هو طن. ج. وزن الفيل هو ملم. د. ارتفاع الفنجان هو ه. طول قلم الرصاص هو و. قفز الكنغر مسافة سم. دسم. ز. املسافة بني بيتي واملدرسة هي كم. ح. وجدت منال باحلساب أن طول الليوان في املدرسة هو سم. قائمة األعداد املالئمة: 1.1 2.1 1,505 0.7 700 2 75 1.7 باإلضافة إلى عملية التبديل املطلوبة على التالميذ أن "يحس وا" مقدار القياسات وأن يعتمدوا على معلومات عامة ليتمك نوا من اإلجابة. يوصى بإجراء نقاش في هذه الفعالية. األجوبة: أ. 0.7 )و 1.1 مالئم أيض ا( ب. 1.7 ج. 2.1 د. 75 ه. 1.7 )و 1.1 مالئم أيض ا( و. 700 ز. 1.1 )العددان 1.7 و 0.7 مالئمان أيض ا( ح. 1,500 )و 700 مالئم أيض ا( الفعالية 11 )الصفحة 100( في هذه الفعالية نتناول تبديل وحدات قياس في األعداد العشرية كي نرسم مضل عات بحسب معطيات. البندان ه و و ميكن اعتبارهما اختياريني للتالميذ املتقد مني. البند ه: املضل ع ذو أكبر مساحة وذو محيط 0.2 متر هو مرب ع طول ضلعه 0.05 متر )5 سم(. البند و: املضل ع ذو أصغر مساحة وذو محيط 0.2 متر هو مستطيل أطوال أضالعه 9.5 سم و 0.5 سم )وهو أضيق مستطيل ميكن رسمه على التربيعات(. 58

ج. ضرب األعداد العشرية )الصفحات 115-101 في كتاب التعليم( يعتمد تعليم ضرب األعداد العشرية على معرفة سابقة - فهم املبنى العشري فهم معنى عملية الضرب معرفة قوانني العمليات احلسابية والتمك ن من خوارزمية الضرب العمودي في األعداد الصحيحة. أثناء تعليم هذه املوضوعة في هذه الوحدة يتمر س التالميذ بطرق حل مختلفة لنفس مترين الضرب في األعداد العشرية. الهدف أن يفهم التالميذ طرق احلل املختلفة وفي كل مر ة يضطر ون فيها إلى حل مترين ضرب في األعداد العشرية: يكون بإمكانهم أن يختاروا الطريقة التي يستسهلونها. 1. احلل األفقي نعرض هنا أمثلة لطرق حل مختلفة لتمارين ميكن حل ها أقفي ا بحسابات غير معق دة. أ. ضرب عدد عشري أصغر من 1 في عدد صحيح مثال: = 0.8 3 احلل بواسطة اجلمع املتكر ر: = 2.4 0.8 + 0.8 + 0.8 = 0.8 3 3 0.8 = 3 10 8 = 24 احلل بواسطة ضرب الكسور: = 2.4 10 ب. ضرب عدد عشري أكبر من 1 في عدد صحيح مثال: = 2.25 2 احلل بواسطة اجلمع املتكر ر: = 4.5 2.25 + 2.25 = 2.25 2 احلل بواسطة ضرب الكسور: = 4.5 2 = 4 1 4 = 4 2 4 2 1 2 = 25 2100 2 = 2.25 2 ج. ضرب أعداد عشرية مثال: = 0.2 0.75 احلل بواسطة ضرب الكسور: = 0.15 احلل بواسطة ضرب أعداد صحيحة: 0.75 0.2 = 75 100 2 10 = 150 1000 = 15 100 نحل التمرين املالئم في األعداد الصحيحة: = 150 2 75 في حاصل الضرب هذا كب رنا العامل األو ل في التمرين األصلي )0.75( 100 مر ة وكب رنا العامل الثاني )0.2( 10 مر ات ولذلك يكون حاصل الضرب في األعداد الصحيحة )150( أكبر 1,000 مر ة )100 10( من نتيجة التمرين األصلي. من هنا: = 0.15 0.2 0.75 يجب أن نشير إلى أن هاتني الطريقتني - ضرب الكسور وضرب األعداد الصحيحة - تبدوان مختلفتني بينما هما في واقع األمر نفس الطريقة: عندما نقوم بضرب الكسور - فإننا فوق خط الكسر ننف ذ ضرب أعداد صحيحة وحاصل الضرب الذي حتت خط الكسر يشير إلى كم مر ة نصغ ر. 2. احلل العمودي حل متارين ضرب في األعداد العشرية يأتي بحسب هاتني املرحلتني: أ. نتجاهل النقاط العشرية ونحل مترين الضرب املالئم في األعداد الصحيحة. ب. نعل م النقطة العشرية في املكان املالئم في النتيجة. مثال: 1. 0 5 7. 3 أ. حل التمرين في األعداد الصحيحة: 1 0 5 7 3 + 3 1 5 7 3 5 7 6 6 5 59

ج. ضرب األعداد العشرية في التمرين في األعداد الصحيحة كب رنا العامل األو ل 100 مر ة )من 1.05 إلى 105( وكب رنا العامل الثاني 10 مر ات )من 7.3 إلى 73( أي يجب تصغير حاصل الضرب في األعداد الصحيحة 1,000 مر ة ولذلك: 1. 0 5 7. 3 7. 6 6 5 مالحظات عن فعاليات في كتاب التعليم - الوحدة ج الصفحات 108-101: ضرب عدد عشري في عدد صحيح في بداية الوحدة نتناول ضرب عدد عشري أصغر من 1 في عدد صحيح والحق ا نتناول ضرب عدد عشري أكبر من 1 في عدد صحيح. حلل هذه التمارين تعل م طريقتان أساسيتان )كما هو مفص ل في املدخل(: أ. بواسطة اجلمع املتكر ر ب. بواسطة ضرب الكسور. فعالية متهيدية للصفحة 101. 1 نطلب من التالميذ أن يكتبوا متارين ضرب في األعداد العشرية يعرفون كيف يحل ونها. مهم أن نؤك د لهم أنهم في الواقع لم يتعل موا بعد كيفية حل مثل هذه التمارين ومع ذلك قد يجدون متارين يعرفون كيف يحل ونها بناء على معرفتهم ومعلوماتهم عن عملية الضرب. مهم أيض ا أن يشرح كل تلميذ طريقة حل مترينه.. 2 نطلب من التالميذ أن يحل وا مترين جمع متكر ر: = 0.7 + 0.7 + 0.7 + 0.7. بعد أن يحل وه نطلب منهم أن يكتبوا مترين ضرب مالئم ا وأن يحل وه بناء على مترين اجلمع املتكر ر. مترين الضرب املالئم هو: = 2.8 4 0.7.. 3 نطلب من التالميذ أن يكتبوا متارين ضرب مختلفة نتيجتها = 3.2 3.2: نخص ص وقت ا جلمع التمارين التي كتبها التالميذ. حتى في هذه املرحلة األولية من التعل م باستطاعة التالميذ أن يفحصوا كل مترين مقتر ح هل هو مالئم للقالب املعروض أم ال. لذلك ميكن أن نطلب منهم طرق فحص مختلفة. باستطاعتهم مثال أن يقد موا اقتراح ا للفحص بواسطة اجلمع املتكر ر أو بواسطة ضرب الكسور أو بالتقدير. الصفحة 102 الفعالية 4 نقاش: كيف ميكن مقارنة نتائج هذه التمارين بدون أن نحل ها = 0.9 12 ج = 0.4 8 ب = 8 0.9 أ التمرينان أ و ب: في التمرينني أحد العامل ني هو 8. العامل الثاني في التمرين ب )0.4( أصغر من العامل الثاني في التمرين أ )0.9( ولذلك نتيجة التمرين ب أصغر من نتيجة التمرين أ. التمرينان أ و ج: في التمرينني أحد العامل ني هو 0.9. العامل الثاني في التمرين أ )8( أصغر من العامل الثاني في التمرين ج )12( ولذلك نتيجة التمرين أ أصغر من نتيجة التمرين ج. التمرينان ب و ج: العامالن في التمرين ب أصغر من العامل ني في التمرين ج )8 أصغر من 12 و 0.4 أصغر من 0.9( ولذلك نتيجة التمرين ب أصغر من نتيجة التمرين أ. لإلجمال: أ أصغر من ج ب أصغر من أ ب أصغر من ج أي أن: ج > أ > ب. أكبر نتيجة: التمرين ج. أصغر نتيجة: التمرين ب. 60

ج. ضرب األعداد العشرية الصفحة 102 الفعالية 7 الصفحة 103 الفعالية 8 في هاتني الفعاليتني يوجد تطبيق لضرب األعداد العشرية في موضوعة مقياس الرسم. الصفحة 103 الفعالية 9 يستطيع التالميذ إيجاد العدد الناقص في املتباينة بطريقة التجربة واخلطأ. هذه هي األجوبة: < 8 0.8 11 < 3 0.6 6 < 1 0.3 4 يفض ل الطلب من التالميذ أن يقد موا شروح ا لطريقة عملهم. حتى احللول املبنية على طريقة التجربة واخلطأ تعتمد على اعتبارات معي نة. مثال تعليل التالميذ إلكمال العدد 11 في املتباينة في البند ج: < 8 0.8 11 ميكن أن يكون على هذا النحو: = 8 0.8 10 ولذلك أصغر عدد صحيح مالئم هو.11 الفعالية 10 مهم أن يكتب التالميذ بالتفصيل طرق حل هم: أ. احلل بواسطة اجلمع التكر ر: = 1.26 0.42 + 0.42 + 0.42 = 3 0.42 0.42 3 = 100 42 3 = 126 100 ب. احلل بواسطة ضرب الكسور: = 1.26 في الفعالية اآلتية الصفحة 103 الفعالية 11 ي طلب من التالميذ حل التمارين بالطريقة التي يستسهلونها. لذلك من املهم في املرحلة األولى أن يتمك ن التالميذ من مهارات حل متارين الضرب بواسطة اجلمع املتكر ر وكذلك بواسطة ضرب الكسور. الفعالية 12 لهذه الفعالية ناحيتان هام تان: األولى - تقوية معنى الضرب في األعداد العشرية. حلل كل واحد من التمرينني املعطيني على التالميذ أن ميي زوا الفرق بينهما وبني التمرين األصلي. في التمرين أ العامل الصحيح أصغر ب 1 من العامل الصحيح في التمرين احمللول. معنى ذلك أن العامل العشري 0.23 يكر ر نفسه أقل مبرة واحدة من عدد املر ات في التمرين احمللول ولذلك نتيجة التمرين أ ستكون أصغر ب 0.23 من نتيجة التمرين احمللول. في التمرين ب العامل الصحيح أكبر ب 1 من العامل الصحيح في التمرين احمللول. معنى ذلك أن العامل العشري 0.23 يكر ر نفسه أكثر مبرة واحدة من عدد املر ات في التمرين احمللول ولذلك نتيجة التمرين ب ستكون أكبر ب 0.23 من نتيجة التمرين احمللول. الناحية الهام ة الثانية املتمثلة في هذه الفعالية هي تطوير التبص ر العددي في مجال ضرب األعداد العشرية. التأكيد هو على حل مترين جديد بحسب حل معطى لتمرين مشابه. في تتمة الفصل سيقابل التالميذ فعاليات أخرى مشابهة. اقتراحات لتمارين إضافية استمرار ا للفعالية 12.1 حل وا التمرينني بواسطة التمرين احمللول هذا: = 14.25 19 0.75. = 18 0.75 ب = 20 0.75 أ.2 حل وا التمارين بواسطة التمرين احمللول هذا: = 32.4 1.2 27. = 1.2 25 ج = 1.2 28 ب = 26 1.2 أ 61

ج. ضرب األعداد العشرية الصفحة 104 نستمر هنا في تناول ضرب عدد عشري في عدد صحيح ولكن تظهر في التمارين هنا أيض ا أعداد عشرية أكبر من 1. هذه التمارين أيض ا يالئمها احلل بالطريقتني املذكورتني من قبل: اجلمع املتكر ر وضرب الكسور. باإلضافة إلى ذلك ميكن حل التمارين أيض ا بواسطة التوزيع. الفعالية 14 ي طلب من التالميذ حل التمارين بكل طريقة من الطرق الثالث التي تعل موها: اجلمع املتكر ر ضرب الكسور واستخدام التوزيع. أحد أهداف الفعالية: جعل التالميذ متمك نني من مهارات احلل بكل طريقة من هذه الطرق وذلك لكي يتمك نوا الحق ا من اختيار طريقة احلل التي يستسهلونها. وهدف آخر للفعالية: جعل التالميذ ميي زون بني طرق احلل املختلفة لكي يكونوا واعني لها وهذا الوعي يساعدهم في مالءمة طريقة احلل لكل مترين الحق ا. الصفحة 105 إحدى الطرق املقترحة في منهج التعليم لشرح ضرب األعداد العشرية تعتمد على فهم املبنى العشري كما عرضناه في املدخل لهذه الوحدة. في هذه الصفحة يقابل التالميذ هذه الطريقة أيض ا. فعالية متهيدية للصفحة 105 في األعداد الصحيحة معطى التمرين احمللول: = 167,700 780 215. حل وا بواسطته هذا التمرين: = 78.215 الشرح: العامل األو ل في التمرينني متساو لكن العامل الثاني في التمرين الثاني أصغر 10 مر ات. لذلك تكون نتيجة هذا التمرين أيض ا أصغر 10 مر ات: = 16,770 78 215. استعينوا بالتمرين احمللول وحل وا أيض ا التمارين اآلتية: = 2,150 7,800 ج = 78 2,150 ب = 780 21,500 أ الشرح: في التمرين أ العامل األو ل ك ب ر 100 مر ة والعامل الثاني لم يتغي ر. لذلك تكون نتيجة التمرين أكبر 100 مر ة: = 16,770,000 780 21,500. في التمرين ب العامل األو ل أكبر 10 مر ات والعامل الثاني أصغر 10 مر ات. لذلك تكون نتيجة التمرين مساوية لنتيجة التمرين احمللول املعطى: = 167,700 78 2,150. في التمرين ج أحد العامل ني أكبر 10 مر ات والعامل اآلخر أكبر أيض ا 10 مر ات. لذلك تكون نتيجة التمرين أكبر 100 مر ة 10( )10 من نتيجة التمرين احمللول املعطى: = 16,770,000 2,150 7,800 الصفحة 105 الفعاليتان 17-16 بعد الفعالية التمهيدية في األعداد الصحيحة يستطيع التالميذ أن يواجهوا هاتني الفعاليتني. هناك تالميذ سيساعدهم جد ا في عملية تخط ي هذا النمط من التفكير أن يكتبوا العملية احلسابية املطلوبة بني التمرين املعطى والتمرين املطلوب حل ه. مثال لشرح ذلك موجود في إطار الشرح في الصفحة 105. :10 278 9 = 2,502 27.8 9 = 250.2 62 :10

ج. ضرب األعداد العشرية بعد تنفيذ الفعالية مهم أن نطلب من التالميذ أن يشرحوا طرق حل هم وعدم االكتفاء فقط باحللول. مهم أن يتدر ب التالميذ كالمي ا على شرح العملية التي نف ذوها واالستنتاج الذي أوصلهم إلى إيجاد احلل. مثال من الفعالية 16: التمرين احمللول املعطى: = 2,502 9 278 التمرين أ: = 9 2.78 الشرح: العامل األو ل أصغر 100 مر ة من العامل األو ل في التمرين احمللول والعامل الثاني لم يتغي ر. لذلك تكون نتيجة التمرين أصغر 100 مر ة من نتيجة التمرين احمللول املعطى أي: 25.02. مثاالن من الفعالية 17: التمرين املعطى: = 42.84 3.57 12 املعادلة ه: = 42.84 357 الشرح: العامل املعلوم أكبر 100 مر ة من العامل املناظر له في التمرين احمللول املعطى بينما النتيجة لم تتغي ر. لذلك على العامل الناقص أن يكون أصغر 100 مر ة أي: 0.12. املعادلة و: = 428.4 12 الشرح: العامل الصحيح لم يتغي ر بينما حاصل الضرب ك ب ر 10 مر ات. لذلك على العامل الناقص أن يكون أكبر 10 مر ات من العامل املناظر له في التمرين احمللول املعطى أي:. 35.7 الصفحة 106 الفكرة املركزية من الفعاليات في هذه الصفحة: عندما نضرب عدد ا معطى في عدد أصغر من 1 يكون حاصل الضرب أصغر من العدد املعطى. عندما نضرب عدد ا معطى في عدد أكبر من 1 يكون حاصل الضرب أكبر من العدد املعطى. باختصار: الضرب في عدد أكبر من 1 يكب ر والضرب في عدد أصغر من 1 يصغ ر. لكي يذو ت التالميذ هاتني القاعدتني جيد ا يوصى بأن يستخدموهما بأنفسهم من خالل متر سهم في حل التمارين املالئمة. اقتراح لفعالية متهيدية للصفحة 106 نعرض على التالميذ هذه التعابير: 5 = 5 5 < 5 5 > 5 نطلب منهم أن يجدوا إمكانيات مختلفة إلكمال هذه التعابير. ميكن تنفيذ املهم ة في مجموعات ومن ثم إجمالها في نقاش صف ي. في اإلجمال الصف ي نطلب من التالميذ أن يقد موا اقتراحاتهم إلكمال هذه التعابير وأن يجدوا أعداد ا مختلفة مالئمة. بعد اإلجمال نعرض عليهم تعابير أخرى: 0.5 = 0.5 0.5 < 0.5 0.5 > 0.5 نطلب منهم اقتراحات إلكمالها. بعد هذه التمر سات ميكن التوص ل إلى التعميمني املذكورين هنا اخلاص ني بعملية الضرب. 63

ج. ضرب األعداد العشرية الصفحة 107 الفعالية 22 ت عرض هنا مسألة كالمية تستدعي بناء جدول في عالقات مالءمة من نوعني: عدد الربطات ووزن الربطات عدد الربطات وثمن الربطات. إكمال اجلدول يستوجب التدر ب على الضرب في األعداد العشرية. باستطاعة التالميذ أن يستعينوا باجلدول أيض ا حلل املسائل في تتمة الفعالية. البند د: كم كغم من املعكرونة تستهلك العائلة في األسبوع كم تكل فها هذه الكمية لإلجابة عن السؤال على التالميذ أن ميعنوا النظر في اجلدول ويستخرجوا منه املعطيات املالئمة. كم كغم من املعكرونة تستهلك العائلة في 10 أيام كم تكل فها هذه الكمية لإلجابة عن السؤال على التالميذ أن يأخذوا باحلسبان أن 10 أيام هي حوالى أسبوع ونصف. أي أن العائلة تستهلك ما تستهلكه في أسبوع زائد نصف هذه الكمية. بحسب هذا املعطى ميكن حساب عدد الربطات وزنها وثمنها. كم كغم من املعكرونة تستهلك العائلة في الشهر كم تكل فها هذه الكمية لإلجابة عن السؤال, باستطاعة التالميذ أن ميعنوا النظر في اجلدول في العمود الذي يشير إلى الكمية لألسبوع وأن يضربوها في 4 أسابيع. الصفحة 108 حلل الفعالية املوجودة في هذه الصفحة على التالميذ أن يفهموا أنهم لكي يجدوا ثمن كمية معي نة من الفاكهة - عليهم أن ينف ذوا مترين ضرب. مثال إذا كان ثمن الكغم الواحد من املشمش هو 14 ش.ج. فإنه إليجاد ثمن 2 كغم من املشمش يجب حل التمرين = 14 2 أي أن الثمن هو 28 ش.ج. اعتاد التالميذ أن يجروا مثل هذه احلسابات إذا كان الوزن املعطى هو بأعداد صحيحة إال أن هذا األمر أي معرفة أن العملية املطلوبة هي عملية ضرب ليس واضح ا متام ا للتالميذ إذا كان الوزن املعطى كسر ا أو عدد ا مخلوط ا. مثال إذا كان ثمن الكغم الواحد من املشمش هو 14 ش.ج. فإنه إليجاد ثمن 0.2 كغم من املشمش يجب حل التمرين = 14 0.2 أي أن الثمن هو 2.8 ش.ج. استخدام جدول املالءمة يساعد التالميذ في احلل. صحيح أن في جدول املالءمة املعروض هنا العالقة الثابتة هي بني األسطر وليست بني األعمدة كما اعتاد عليها التالميذ ومع ذلك يبقى هذا اجلدول هو جدول مالءمة بكل ما حتمله الكلمة من معنى. اقتراح لسؤال مفتوح في أعقاب الفعالية من الصفحة 108 اشترى فادي ثالثة أنواع من الفواكه املجف فة وزنها الكلي كان 1 كغم. ماذا اشترى فادي وكم دفع اقترحوا إمكانيات مختلفة. حلول ممكنة: - 0.1 كغم من التمر 0.1 كغم من التفاح و 0.8 كغم من الزبيب بثمن 27 ش.ج. احلساب املالئم: = 27 25 0.8 + 30 0.1 + 40 0.1-0.1 كغم من التمر 0.2 كغم من التفاح و 0.7 كغم من الزبيب بثمن 27.5 ش.ج. احلساب املالئم: = 27.5 25 0.7 + 30 0.2 + 40 0.1-0.1 كغم من التمر 0.3 كغم من التفاح و 0.6 كغم من الزبيب بثمن 28 ش.ج. احلساب املالئم: = 28 25 0.6 + 30 0.3 + 40 0.1 64

ج. ضرب األعداد العشرية هذه األمثلة بالطبع هي قسم صغير فقط من اإلمكانيات املالئمة حلل املسألة. كل ثالثة أنواع من الفواكه وزنها الكلي هو 1 كغم هي مالئمة للمسألة. لكل إمكانية من هذه اإلمكانيات يجب حساب ثمنها الكلي. هذه األمثلة مأخوذة من ثالثة أنواع فقط من الفواكه بينما في الفعالية التي في الصفحة 108 توجد خمسة أنواع من الفواكه. لتفليص عدد اإلمكانيات ميكن إضافة قيد للمسألة وهو حتديد أسماء أنواع الفواكه التي مت شراؤها. إذا تبني أن التالميذ ما يزالون يستصعبون السيطرة على مترين السلسلة وعلى ترتيب العمليات احلسابية في األوضاع الضربية في األعداد العشرية باستطاعتهم بالطبع أن يكتبوا التمارين املالئمة على انفراد. يفض ل شرح وعرض هذه الطريقة لهم أيض ا وكيفية كتابتها )هذه الطريقة معروفة لهم منذ تناولهم لألعداد الصحيحة(. اقتراح لفعالية حتد في أعقاب الفعالية من الصفحة 108 اشترت ياسمني متر ا وزبيب ا فقط ودفعت 20 ش.ج. كم كغم اشترت من كل نوع اقترحوا إمكانيات مختلفة. حلول ممكنة: - 0.4 كغم من الزبيب و 0.25 كغم من التمر. احلساب املالئم: = 20 40 0.25 + 25 0.4-0.6 كغم من الزبيب و 0.125 كغم من التمر. احلساب املالئم: = 20 40 0.125 + 25 0.6-0.2 كغم من الزبيب و 0.375 كغم من التمر. احلساب املالئم: = 20 40 0.375 + 25 0.2 باستطاعة التالميذ أن يحل وا مسألة التحد ي هذه في مجموعات ويحاولوا التوص ل إلى حلول مختلفة وحتى محاولة إيجاد طريقة منهجية حلل املسألة. بعد ذلك ي نصح بإجراء نقاش يطرح فيه التالميذ اإلمكانيات املالئمة ويقترحون طرق ا للحل. أمامكم طريقة ممكنة حلل املسألة بواسطة تنظيم املعطيات في جدول مالءمة يعرض ثمن الزبيب وثمن التمر: ميكن بالطبع عرض اجلدول بالطريقة التي ع رض فيها في الصفحة 108 في كتاب التعليم. الوزن بالكغم ثمن الزبيب ب ش.ج. ثمن التمر ب ش.ج. 40 25 1 4 2.5 0.1 5 0.125 8 5 0.2 10 0.25 12 7.5 0.3 15 0.375 16 10 0.4 20 12.5 0.5 15 0.6 17.5 0.7 20 0.8 65

ج. ضرب األعداد العشرية ب ني هذا اجلدول بحسب سهولة احلساب. هناك مبر ر إليجاد ثمن 0.125 كغم من التمر أو 0.25 كغم من التمر ألننا نحصل على أثمان مالئمة لإلمكانيات املختلفة للتوص ل إلى 20 ش.ج. ال يوجد مبر ر مثال إليجاد ثمن 0.125 كغم من الزبيب ألننا سنحصل على ثمن ال يالئم اإلمكانيات املختلفة للتوص ل إلى 20 ش.ج. ضمن املعطيات القائمة. واضح أنه عندما يبني التالميذ جدوال كهذا ال ميكنهم أخذ كل االعتبارات باحلسبان مسبق ا ولكن بعد إجراء محادثة في الصف ت طرح في الصف إمكانيات مقبولة أخرى. مثال: إذا وجدنا أن ثمن 0.2 كغم من الزبيب هو 5 ش.ج. يفض ل إيجاد وزن كمية التمر بالكغم التي ثمنها 15 ش.ج. وذلك بهدف التوص ل إلى الثمن الكلي وهو 20 ش.ج. باستطاعة التالميذ أن يتوص لوا إلى الوزن املطلوب بسهولة من خالل النظر في اجلدول: إذا كان ثمن 0.25 كغم هو 10 ش.ج. فإن ثمن 0.125 كغم هو 5 ش.ج. من هنا فإن ثمن 0.375 كغم من التمر هو 15 ش.ج. )قد يكون أسهل للتالميذ أن ت ستخدم الكسور البسيطة في النقاش فهذا ليس مرفوض ا بالطبع.( الصفحات 112-109: ضرب عدد عشري في عدد عشري فعالية متهيدية متهيد ا لبداية املوضوعة يوصى بأن ي جمل التالميذ ما تعل موه حتى اآلن في املوضوعة: حتى اآلن حللتم متارين ضرب عدد صحيح في عدد عشري. واآلن ستتعل مون أن حتل وا أيضا متارين ضرب عدد عشري في عدد عشري. هل طرق احلل السابقة مالئمة أيض ا في رأيكم حلل متارين من هذا النوع مثال: = 1.02 0.9 أ. هل ميكن حل هذا التمرين بواسطة اجلمع املتكر ر ال ألن اجلمع املتكر ر يالئم فقط متارين الضرب التي أحد العامل ني فيها هو عدد صحيح. ب. هل ميكن حل هذا التمرين بواسطة ضرب بالكسور 0.9 1.02 = 10 9 102 نعم = 0.918 918 = 1000 100 ج. هل ميكن حل هذا التمرين بواسطة حل التمرين في األعداد الصحيحة: = 918 102 9? نعم في التمرين باألعداد الصحيحة العامل األو ل أكبر 10 مر ات من العامل في التمرين املعطى والعامل الثاني أكبر 100 مر ة من العامل الثاني في التمرين املعطى. من هنا فإن نتيجة التمرين في األعداد الصحيحة أكبر 1000 مر ة )10 100( من نتيجة التمرين املعطى لذلك ميكن أن نحل :.0.9 1.02 = 0.918 الصفحة 109 ي طلب من التالميذ حل متارين ضرب عدد عشري في عدد عشري بطريقتني مختلفتني: بواسطة ضرب الكسور وبواسطة ضرب األعداد الصحيحة. مهم أن يتمك ن التالميذ من هاتني املهارتني لكي يتمك نوا الحق ا من مالءمة طرق احلل بحسب التمرين املعطى وبحسب سهولة احلساب. الصفحة 110 الفعالية 4 في هذه الفعالية معطى مترين ضرب محلول في األعداد العشرية. ي طلب من التالميذ حل ست ة متارين تليه بواسطة التمرين احمللول املعطى: = 11,070 82 135. أ = 82 13.5 الشرح: العامل األو ل في التمرين أصغر 10 مر ات من العامل األو ل في التمرين احمللول والعامل الثاني يساوي العامل الثاني في التمرين احمللول. لذلك يكون حاصل الضرب في التمرين أصغر 10 مر ات. أي أن: = 1,107 82 13.5. ب = 0.82 135 الشرح: العامل األو ل في التمرين يساوي العامل األو ل في التمرين احمللول والعامل الثاني أصغر 100 مر ة من العامل الثاني في التمرين احمللول. لذلك تكون نتيجة التمرين أصغر 100 مر ة. أي أن:. 135 0.82 = 110.7 66

ج. ضرب األعداد العشرية ج = 820 135 الشرح: العامل األو ل في التمرين يساوي العامل األو ل في التمرين احمللول والعامل الثاني أكبر 10 مر ات من العامل الثاني في التمرين احمللول. لذلك يكون حاصل ضرب التمرين أكبر 10 مر ات. أي أن:. 135 820 = 110,700 د = 8.2 13.5 الشرح: كل واحد من العامل ني في التمرين ص غ ر 10 مر ات عن نظيره في التمرين احمللول. القسمة على 10 ثم القسمة مر ة أخرى على 10 معناها القسمة على 100. )سبق أن واجه التالميذ هذه احلاالت في الوحدة السابقة التي تناولت قسمة أعداد عشرية على 10 وعلى 100.( لذلك تكون نتيجة التمرين أصغر 100 مر ة. أي أن: = 110.7 8.2 13.5. ه = 8.2 1.35 الشرح: العامل األو ل أصغر 100 مر ة من العامل األو ل في التمرين احمللول والعامل الثاني أصغر 10 مر ات من العامل الثاني في التمرين احمللول. القسمة على 100 ثم القسمة على 10 معناها القسمة على 1,000. لذلك تكون نتيجة التمرين أصغر 1,000 مر ة من نتيجة التمرين احمللول. أي أن:. 1.35 8.2 = 11.07 و = 82 0.135 الشرح: العامل الثاني يساوي العامل الثاني في التمرين احمللول بينما العامل األو ل أصغر 1,000 مر ة من العامل األو ل في التمرين احمللول. لذلك تكون نتيجة التمرين أصغر 1,000 مر ة. أي أن:. 0.135 82 = 11.07 كما ذكرنا في فعاليات سابقة من هذا النوع مهم إجراء نقاش صف ي في أعقاب الفعالية ومهم أن يتمر س التالميذ بأنفسهم كالمي ا في الشرح املالئم. القدرة على صياغة شرح من هذا النوع مهم ة من أجل تطوير قدرة التالميذ على تعليل العمليات الرياضية التي يقومون بها. الفعالية 5 في هذه الفعالية نتناول حساب مساحات حدائق كتطبيق حلل متارين ضرب في األعداد العشرية. احلديقة د هي أكثر احلدائق املعطاة تركيب ا. إحدى طرق حساب مساحتها هي إكمالها إلى مستطيل ثم طرح مساحت ي القسمني األبيضني من مساحته. 3 م 1.5 م 1 م 1 م 1 م 1.4 م بهذه الطريقة نحصل على مستطيل طوال ضلعني متجاورين فيه هما 4 م و 2.4 م. مساحة املستطيل الكامل هي 9.6 م : 2 4 2.4 = 4 )2 + 0.4( = 4 2 + 4 0.4 = 9.6 من هذه املساحة يجب أن نطرح مساحت ي املستطيلني األبيضني: 9.6 - )1 1.5 + 1 1( = 7.1 أي أن مساحة احلديقة د هي 7.1 م. 2 الصفحتان 112-111 الفعاليات املوجودة في هاتني الصفحتني مرتبطة بالتعميمني اللذين توص لنا إليهما في الصفحة 106: - عندما نضرب عدد ا معطى في عدد أكبر من 1 تكون النتيجة أكبر من العدد املعطى. - عندما نضرب عدد ا معطى في عدد أصغر من 1 تكون النتيجة أصغر من العدد املعطى. 67